Is there a way to find out what protocol/cipher settings Chrome thinks it got from the server
O TLS não funciona assim. No TLS, o cliente inicia o handshake e inclui todas as cifras que ele aceita aceitar do servidor. Se o servidor não encontrar nenhuma sobreposição com suas próprias cifras, então, no melhor dos casos, notificará o cliente sobre esse problema específico e, no pior dos casos, simplesmente fechará a conexão.
No seu caso, você recebe ERR_SSL_VERSION_OR_CIPHER_MISMATCH, o que significa que o servidor não suporta nenhuma das cifras oferecidas pelo cliente. Não sei quais cifras foram configuradas no servidor, mas o SSLLabs mostra quais são oferecidas pelo Chrome . E o ECDHE-RSA-AES128-SHA256 (TLS_ECDHE_RSA_WITH_AES_128_CBC_SHA256) não é um desses.
Ele pode funcionar com outros navegadores porque eles oferecem códigos diferentes ao servidor, ou seja, IE 11 no Windows 10 suporta esta cifra específica enquanto Firefox não suporta isso. Tanto o Chrome quanto o Firefox oferecem TLS_ECDHE_RSA_WITH_AES_128_CBC_SHA, que foram removidos do conjunto de cifras do servidor e, portanto, funcionaram antes.
Para corrigir o problema, você deve configurar seu servidor para aceitar o máximo possível de cifras seguras . Veja Configurações recomendadas no Wiki da Mozilla.