Isso é chamado de encaminhamento de ssh-agent e há a opção -A em ssh . Se você está familiarizado com o ssh-agent, basta fazer ssh -A bob "git clone git@repo" e ele deve fazer o trabalho (possivelmente tente adicionar -tt opções se ele não funcionar).
Se você não ouviu falar sobre ssh-agent , pode continuar lendo:
eval 'ssh-agent' ## start ssh-agent
ssh-add your.key ## add your key to agent, possibly unlocking if encrypted
ssh -A bob ## gets you to remote server with rather safe access to your local key