Em resposta à pergunta do título, sim, a versão da API (DirectX ou OpenGL) suportada por um determinado cartão depende do hardware físico. Na maioria dos casos, uma nova versão da API exigirá novo hardware para total compatibilidade.
O driver de dispositivo, na verdade não está emitindo comandos, os comandos já são emitidos pela API, o driver, de certa forma, manipula esses comandos para fazer melhor uso do hardware subjacente. Ele faz muito mais do que isso e também gerencia a interação no nível do SO.