Is IIS 6 that outdated?
Sim, tem cerca de uma década agora. É muito desatualizado? Depende do que você está usando. Não há vantagem em ficar com o IIS6 se uma versão mais nova estiver disponível para o seu SO.
Can I update our company Win2008 server to a newer IIS free of charge?
Sim, você pode baixar e instalar o IIS7.5 no Server 2008 R2. Verifique com a Microsoft: Instalando o IIS 7.5 no Windows Server 2008 R2
What version of IIS should I get?
A versão mais recente que o seu sistema operacional suporta. Para o Server 2008 R2, seria a v7.5.
Where can I find out how to start migrating our existing servers over with little or no downtime?
Isso é impossível para nós (ou qualquer um) para responder a isso por você, já que não temos ideia de de que recursos seus sites dependem. E, dependendo dos recursos e métodos usados na criação (dos quais não temos conhecimento), não estou convencido de que poderíamos apontar você em uma direção específica.
Se for uma página web simples com caminhos relativos, basta criar um novo site e copiar o conteúdo. Se for um aplicativo da Web simples, crie um novo site, atribua um pool de aplicativos e copie as coisas.
Se os projetos foram totalmente desenvolvidos no Visual Studio, talvez seja mais fácil publicar novamente do VS diretamente no IIS.
Basicamente, comece a migrar do seu jeito escolhido (dependendo das suas necessidades) e resolva os problemas um de cada vez.
Se / quando você ficar preso migrando, volte para os sites do Stack Exchange (pode estar aqui, pode ser melhor em ServerFault ou WebDevelopers - dependendo do problema) com perguntas específicas sobre problemas específicos.