A maioria dos roteadores tem a capacidade de ativar os logs. É só uma questão de ativar os logs. Quanto a quanto tempo eles mantêm os logs antes de serem rotacionados, isso pode ser diferente dependendo do modelo. Você também pode procurar um roteador na lista de dispositivos suportados pelo DD-WRT e usá-lo para executar logs.
Ele não declara explicitamente que registrará os sites visitados, mas o DD-WRT deve fazer isso sem problemas.