Muitos NAS-es atualmente (como synology) são baseados no Linux. A propriedade de arquivos e diretórios é armazenada nos inodes do sistema de arquivos como números.
Então, se você criar um novo NAS, dê aos membros da sua família os mesmos IDs de usuário no novo NAS que o antigo (supondo que você possa fazer isso), e tudo bem.
Se você não puder escolher o ID de usuário para os membros da sua família, faça o login no NAS como root e execute o comando chown -R owner:group <dir>
com os novos IDs de usuário e grupo apropriados.
Se você tiver acesso root ao NAS, poderá ler todos os arquivos, independentemente de suas permissões.