Você tem o que nós, no negócio de rede, chamamos de "buraco negro". Basicamente você pode fazer ping da rede 2.x para 1.x porque o computador 2.x pergunta ao roteador belkin (o gateway de computadores para o mundo externo), o roteador belkin pode saber, mas provavelmente tentará encontrar o endereço do computador 1.x. O computador responde ao roteador belkin, que então encaminha de volta ao computador 2.x.
Na outra direção, o computador 1.x pergunta ao roteador linksys onde ele está e (a menos que você tenha configurado uma rota para a rede 192.168.2.0/24 se o roteador suportar) o roteador linksys não tem idéia. Agora, um endereço 192.168.2.x é uma classe privada C (que não pode ser roteada em toda a Internet). Então, o roteador Linksys pode desistir, ou pode tentar enviá-lo para a cadeia (o roteador Linksys perguntando a TIs gatweway) em algum momento eles vão parar de tentar resolver o endereço privado e voltar para o destino inacessível.
Talvez você tenha instalado o roteador belkin apenas como uma forma de isolar os clientes sem fio, e não uma má prática. Você precisará adicionar a rota do roteador linksys à rede 2.x (pode nem ser necessário suportado em dispositivos domésticos sem firmware personalizado) você também precisa ter certeza de que o NAT está desabilitado no roteador belkin.
Para que as redes falem diretamente (redes não separadas), você precisará fazer algumas coisas. Mude a maneira como o belkin está conectado. Você provavelmente está nas portas WAN / Uplink / Trunk / Modem no Belkin, mude para as portas regulares / LAN / Downstream. Você também precisaria desligar o servidor DHCP (ou configurá-lo como um retransmissor) e alterar seu endereço no Belkin para o mesmo intervalo que o linksys (eu sugeri que o Belkin é 1.2, pois linksys é 1.1). ainda ser resolvido através do roteador linksys, o DHCP é tratado por linksys, o belkin pode ser um AP sem fio, mas o DHCP ainda deve ser através de linksys para os clientes sem fio. Basicamente, nós mudamos de uma rede SUB para um ponto de acesso e ligamos a mesma rede.