Parece um problema de "pipe nomeado" (Sherlock Holmes, por favor, me perdoe). Como os dados não devem permanecer no seu sistema, você deve criar um pipe nomeado,
mkfifo my_pipe
e depois gravar o processo SSH, e você pode ler a partir dele:
cat < my_pipe | ffmpeg -i - http://127.0.0.1:8090/feed1.ffm
Quando o processo que grava dados for concluído, um EOF aparecerá no gato, e você estará livre para parar o envio por meio de Ctrl + C. É claro que você também pode ser mais inteligente, escrevendo um pequeno script que aguarda em um EOF; contanto que não o encontre, ele passa os dados, quando encontra o EOF, desliga a operação. Desta forma, você não precisa monitorar todo o processo.