Eu não usei o Ubuntu One (eu uso o Dropbox), mas isso deve ser possível: Abra o gerenciador de arquivos (Nautilus), ative a visualização de arquivos e pastas ocultas, clique com o botão direito na pasta .thunderbird
em seu diretório inicial e permitir a sincronização com o Ubuntu One.
Se você estiver usando o Thunderbird em duas (ou mais) máquinas e sincronizar ambos os perfis com o Ubuntu One, pode haver problemas com as duas máquinas executando gravações conflitantes no perfil. Mas, desde que seja sincronizado a partir de apenas uma máquina, tudo estará bem. Tenha em mente o limite de espaço de armazenamento no Ubuntu One.