Praticamente a única coisa que um host pode fazer com o DHCP é liberar sua concessão, em essência, devolver o IP. O host não pode realmente dizer ao servidor para fazer muito mais do que isso.
Da sua pergunta, parece que você não tem controle sobre a rede, mas controla totalmente os dois computadores e está trabalhando com duas máquinas Linux.
Se as sugestões do @Oliver Salzburg, @ Ramhound ou @ Bruno9779 não ajudarem, se você estiver usando dhclient , há um diretório de script ( /etc/dhcp3/dhclient-exit-hooks ou IIRC similar) onde você pode colocar um script próprio . Esse script é executado toda vez que dhclient é chamado, o que acontece toda vez que seu sistema solicita um novo IP entre outros eventos. Esta seria a chave para automatizar a reconfiguração no outro sistema.
Com as chaves ssh configuradas corretamente, você pode executar um comando remoto no segundo sistema. Isso pode ser usado pelo script chamado por dhclient para executar um comando ifconfig ou similar.