Faça logout e faça login novamente.
Cada processo em execução possui suas próprias credenciais - usuário, grupo, lista de grupos secundários. Quando você executa usermod -aG , você apenas atualiza as informações do usuário no disco, mas não pode atualizar a lista de grupos dos shells atualmente em execução. Você pode vê-lo executando groups ou id (mostra as credenciais atuais) e comparando com groups user ou id user (mostra informações no disco).
Além disso, verifique se o seu grupo realmente tem acesso de gravação ( +w ) ao diretório. Adicione com sudo chmod g+w /var/www .