Aqui está a lista de placas de rede que são suportadas pelo Ubuntu: Placas de rede com fio
A lista é dividida por fornecedor. Se você clicar em um fornecedor, você será direcionado para uma lista de cartões de fornecedores suportados / não suportados.
Parece que o seu Realtek RTL-8169 é suportado, mas não lista com qual versão do Ubuntu ele está confirmado para trabalhar.