PuTTY tem a capacidade interna de passar por um proxy da web.
Vá para a conexão - > Tela de proxy, selecione HTTP para o tipo de proxy e forneça o nome do host e a porta. Forneça um nome de usuário e senha, se exigido pelo seu proxy.
Alguns proxies da web se recusam a conectá-lo a qualquer porta, exceto a 443, porque eles são destinados a conexões HTTPS. SSH sendo a porta 22 normalmente, isso representa um problema. Você pode considerar mover seu servidor SSH para a porta 443 neste caso.