Is IPv4 anycast DNS within a single LAN possible?
Não, anycast não funciona dessa maneira. Seus clientes DNS verão que o endereço IP do servidor DNS configurado está dentro da mesma sub-rede, ARP para seu endereço MAC e, em seguida, tentam enviar o pacote diretamente. Estando na mesma sub-rede, o switch simplesmente encaminhará o pacote para o servidor.
Can you simply assign two or more hosts the same IP address and the switch will figure out which port to send the packets to, dropping the port and clearing the ARP entry if the server goes offline?
Não, atribuir dois sistemas diferentes com o mesmo endereço IP causará um conflito de endereços IP. Isso causará problemas como perda de pacotes e conectividade intermitente. Não faça isso.
Will the hosts also reissue ARP requests if packets suddenly stop being responded to?
Se todo o servidor ficar inoperante, então sim, o cliente começará a enviar solicitações ARP. Se apenas o serviço DNS falhar (rede ainda ativa), não ocorrerá ARP-ing. As solicitações de DNS simplesmente esgotam o tempo limite ou falham.
Do you have to share a MAC address as well as an IP?
Não, isso também causará problemas de rede.
Or is it impossible to use anycast with this setup and a routing protocol is required?
Protocolo obrigatório.
tl; dr
O Anycast é complexo e não é adequado para pequenas implantações únicas. Fique com os dois servidores DNS que você tem atualmente.