Sim. Ative o acesso ssh ao seu servidor web (você pode fazer isso através do painel de controle do gator do host). Eu vou assumir que você está usando o apache e você executaria tail -f /var/log/access.log. Fazer isso seguirá o arquivo, por assim dizer, e imprimirá instantaneamente no shell quando você tiver um novo visitante em seu servidor da Web.
O Access.log tem todo o agente do usuário, acesso a recursos, informações sobre o tipo de solicitação, etc ... que eu vejo na captura de tela do gator do host acima.
EDIT: Esta resposta supõe que você tenha um servidor VPS ou dedicado. Eu não usei e não consegui encontrar nenhuma informação para hospedagem compartilhada.