As chaves privadas não podem ser extraídas de um cartão inteligente; na verdade, esse é todo o ponto dos smartcards.
(Embora eles não ofereçam quase tanta proteção física quanto, por exemplo, tokens USB, mas ainda haveria muito trabalho e equipamento que você não tem; em suma, é impraticável. A menos que você esteja usando um IDPrime ou outro modelo que é vulnerável ao ataque ROCA recentemente publicado ...)
No entanto, se sua CA permitir, você poderá emitir um certificado novo com sua chave privada gerada em um computador e, em seguida, instalar esse certificado & keypair para quantos smartcards você quiser.