Ok, consegui corrigir o problema. O @AlexanderMakarenko teve uma ótima idéia para verificar o php-fpm se ele está sendo executado.
O que eu fiz foi remover o php-fpm completamente, eu removi a configuração do /etc/php/7.0 e deixei o 7.1. Eu mudei o /etc/nginx/conf.d/php para apontar para o socket 7.1.