Se você tiver o Windows 10 ativado anteriormente no laptop, não será necessário inserir novamente a chave. Quando solicitado durante a instalação, clique em "Eu não tenho uma chave de produto" e ele será ativado automaticamente após a instalação ser concluída e você se conectar à Internet.
Se você salvou a chave (usando um keyfinder para recuperá-la) antes de instalar o Mint, você poderá inseri-la novamente, mas não há necessidade.
Em ambos os casos, se solicitado, você deve instalar a mesma versão (Home ou Pro) que você tinha antes. Se você tiver sua chave OEM incorporada em seu firmware, não será solicitado.