Você provavelmente não alterou as configurações do gateway para a VPN.
Por padrão, quando você faz uma conexão VPN, todo o tráfego de rede é roteado pela VPN. Isso garante que o DNS continue funcionando, mas não é necessário.
Ao desativar o uso do gateway padrão na rede remota, sua rede interna permanece ativa.
Não sei ao certo como alterar isso no cliente Cisco AnyConnect, mas vou escrever a alteração para uma VPN normal, para que possa ajudá-lo a encontrar a configuração no seu cliente Cisco AnyConnect.
Vá para o Painel de controle - > Centro de Rede - > Configurações do adaptador - > Conexão VPN
Clique com o botão direito na conexão e escolha Propriedades.
Acesse a guia Rede Dê um duplo clique no TCP-IP v4
Pressione Avançado
Desmarque Use default gateway on remote network