Você precisa de conectividade de rede nos dois computadores.
No novo servidor:
mkdir /old server/
mysqldump -h <old server ip or dns> -c <database name> >/old server/database.sql
Por exemplo:
mysqldump -h 192.168.1.2 -c server /old sever/server.sql
No novo servidor, o banco de dados pode ser importado. Você pode ter que pré-criar um banco de dados em branco com esse nome de banco de dados primeiro.
mysql -u root -ppassword server <server.sql