Se a TV tiver um navegador da Web suficientemente bom, você pode tentar baixar algo do seu NAS e medir o tempo gasto. Sua largura de banda é de dados / hora. Synology deve ter um servidor web básico, eu acho que o nome é "Web Station", para instalar a partir de sua "App Store". Além disso, você poderia exportar um arquivo grande, como um filme, e baixá-lo da TV.
Eu acho que o seu problema é que a TV não pode lidar com os codecs muito bem. Talvez você tenha filmes com maior largura de banda, do que o decodificador interno na TV suporta sem problemas. Além disso, o Synology NAS transcodifica o filme à medida que você o transmite. Isso pode ser ajustado nas configurações. A maioria das ofertas de Synology NAS para a casa não são muito poderosas quando se trata de conversão em tempo real de vídeo, depende do seu modelo. Principalmente, vídeos de qualidade muito alta não saturam até mesmo um link de 100 Mbps, o que seria 10 vezes mais lento do que o seu NAS oferece e pode saturar realisticamente (já que discos rígidos são muito rápidos ao transferir grandes dados sequencialmente).
Eu verificaria o que a TV pode suportar nas especificações para isso. Talvez o firmware da TV também possa ser atualizado. Para a Synology, eu verificaria, se transcodificasse alguma coisa. Se sim, tente desligá-lo. Se não, tente ligá-lo e brincar um pouco com as configurações.