Parece que o servidor bloqueou alguns IPs, provavelmente porque estão tentando acessar o site por meio de https, enquanto o novo servidor ainda não possui um certificado SSL instalado.
Isso não se aplica a todos os clientes. Alguns não tiveram problemas para acessar o novo servidor no http normal, embora tivessem acessado o site no antigo servidor https antes. Isso é o que tornou o problema um pouco mais difícil de rastrear.
Remover os IPs bloqueados da lista DENY do firewall resolveu o problema. E agora eles parecem estar se conectando bem.