A resposta aqui é que infelizmente não podemos dizer ... Os gráficos integrados da Intel usam um driver comum, então isso não deve ser um problema. Atualizando o BIOS poderia quebrar as coisas, mas não é provável. A atualização da CPU apenas tornará o Linux mais rápido, a detecção da CPU estará no kernel e, a menos que você recompilou o kernel e o esteja executando, ele deve apenas detectar a nova CPU e GPU e funcionar bem.
Isso provavelmente irá bem, atualizará o BIOS e verificará o boot, então instalará o novo CPU ... Eu realmente não prevejo um grande problema e você não deveria ter que reinstalar o Mint.
Dito isso, você está fazendo uma grande mudança ... faça o backup de seus arquivos e crie um pendrive inicializável do Linux Mint antes de fazer a atualização, apenas por precaução. Então, se o pior caso acontecer, você tem algo a que recorrer, mas duvido que precise disso. É melhor prevenir do que remediar.