Depois de percorrer vários departamentos na minha empresa e tentar várias soluções possíveis, finalmente encontrei o problema:
O modo de navegação InPrivate do Internet Explorer é incompatível com o armazenamento de aplicativos do Silverlight.
Depois de desativar o modo InPrivate, o aplicativo funcionou corretamente. Meu palpite é que o InPrivate impede que o Silverlight salve qualquer coisa no armazenamento de aplicativos.