O culpado é um ataque do tipo Man in the Middle.
Eu não o consertei completamente, mas o básico:
Em algum lugar da minha rede (ainda não descobri), alguns roteadores estão usando servidores DNS que NÃO são os que eu configuro.
Além disso, muitas máquinas, de muitos sistemas operacionais diferentes (que eu vi afetados: Windows 8.1, OSX El Capitan, Ubuntu, Fedora) tiveram suas configurações de DNS alteradas explicitamente.
O DNS desonesto causa bugs quando você está tentando fazer login em sites, porque está tentando roubar credenciais de login.
Eu percebi o que estava acontecendo, quando o ataque parcialmente teve sucesso: eu estava tentando acessar meu banco on-line e notei que ele estava pedindo informações incomuns, por exemplo, pedindo minha senha do caixa eletrônico, que não é usada em serviços bancários on-line.
Após a alteração do DNS nas máquinas, a página verdadeira do banco "retornou" e o logoff aleatório praticamente parou ... Alguns roteadores em algum lugar ainda são problemáticos, mas agora minha rede é mais utilizável novamente.