Se o computador antigo é razoavelmente recente (como nos últimos dez anos), isso não deve ser um problema. A questão crítica é a interconexão do host para o disco rígido; na última década, a SATA virtualmente quase substituiu seu antecessor PATA (IDE).
Se o disco rígido do sistema antigo é uma unidade SATA, você deve ser capaz de movê-lo fisicamente para o novo sistema, conectar os cabos e fazer bem. Configure o BIOS para inicializar a partir da unidade existente do novo sistema, e você poderá acessar todos os seus arquivos diretamente, ou ser capaz de fazê-lo depois de tomar posse do novo sistema (isso requer acesso administrativo).
Se o disco rígido do sistema antigo é uma unidade PATA / IDE, as coisas se tornam um pouco mais complicadas porque virtualmente nenhuma placa-mãe de consumidor atualmente tem portas PATA. Se for esse o caso, você precisará obter um gabinete externo USB-para-PATA ou uma placa controladora PATA para instalar em um slot de expansão na placa-mãe do novo sistema. Feito isso, o procedimento é o mesmo: conectar a unidade, possivelmente definir a prioridade de inicialização da BIOS, possivelmente assumir a responsabilidade e pronto.
Tenha em mente que os discos rígidos não duram para sempre. Se o antigo tiver alguns anos, pode ser uma boa ideia simplesmente substituí-lo por um novo. Nesse caso, instalar uma nova unidade no novo sistema e depois copiar os arquivos do sistema antigo para o novo sistema pela rede é provavelmente uma abordagem melhor.
E faça backups sólidos e regulares. Eu não posso enfatizar isso o suficiente se os dados forem valiosos ou importantes para você.