Isso está sendo executado em um servidor da Web? Nesse caso, verifique se o host e os contêineres estão realmente bloqueados. Se estiver em um site público, tenha certeza absoluta (parece que você sabe fazer isso, mas pensei em mencioná-lo)
Copie o binário diretamente para o sistema de arquivos do contêiner
Assumindo que o programa 'executor' do seu host tenha privs root, tente o seguinte:
cp test_runner /var/lib/lxc/<container_name>/rootfs/tmp/
Rootfs é o sistema de arquivos raw do contêiner. Você executaria seu script fazendo algo como:
lxc-attach -n container -- /tmp/testprogram
Se não estiver sendo executado como root, tente usar contêineres sem privilégios (isso pode realmente ser melhor do ponto de vista de segurança) . Você pode copiar o arquivo diretamente para o container sem precisar de root. Stephane Graber (um dos desenvolvedores do lxc para o Ubuntu) tem uma ótima introdução em seu blog: Introdução aos Recipientes LXC Sem Prevalência