Next, what I noticed is that whatever time server I enter, even those that are working perfectly fine on other computers on my network, I get a connection timeout.
Isso provavelmente é porque você está digitando o novo servidor de horário e pressionando "Atualizar agora". Isso não funciona porque o novo servidor de horário que você digitou não entra em vigor até você clicar em OK para fechar a caixa de diálogo "Horário da Internet". Então, você está tentando repetidamente atualizar do servidor de horário original que não funciona (mesmo que tenha digitado um novo endereço).
Digite o endereço do servidor de horas que você conhece, clique em OK, abra a caixa de diálogo e clique em "Atualizar agora".
it says the clock has been successfully set, although the time is about 10 minutes wrong.
Assumindo que o que eu disse acima está correto, então meu palpite é que desde que você não tenha realmente sincronizado com um servidor de horário com sucesso, seu tempo não foi atualizado (corretamente). Tente outro servidor de tempo e veja se ele ainda está fora por 10 minutos.