Depois de algumas pesquisas, descobri como você pode fazer isso:
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Primeiro, desative a notificação normal do Network Manager. Como? Sua resposta está aqui:
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Execute um script para notificá-lo sempre que a Internet for conectada. Como? Aqui está sua resposta:
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Como você pode ser notificado por um script? Novamente, há respostas no Stack Exchange nesse sentido: