Você não pode acionar o script na caixa Linux sem um login nessa caixa ou um cronjob que executará o script na caixa Linux.
Você pode usar o cronjob para executar o script e, em seguida, exportar o resultado para um compartilhamento de rede ou em um local da web restrito (bloqueie esse local da web ao seu IP).
Depois, você pode usar o script .bat no Windows para analisar a saída desses locais.