O que você deseja fazer é remover o disco rígido do sistema que não responde e conectá-lo a um sistema de trabalho conhecido. Espero que não seja o disco rígido em si com o problema.
Seu disco rígido, se este sistema for relativamente novo (mais recente que 2004), provavelmente é um disco rígido SATA, e os computadores de mesa atualmente possuem 4 ou mais portas SATA na placa-mãe (laptops grandes podem ter até 2 baias de unidade nos dias de hoje). Assim, você pode conectar a unidade a uma porta SATA aberta em outra máquina (assim como a energia da fonte de alimentação do computador), inicializar o sistema operacional do computador e recuperar dados.
Se esta unidade foi formatada no Linux, inicialize no Linux, caso contrário, o Windows ou o Linux estarão bem.
Se você inicializar no Windows e receber uma mensagem dizendo que a unidade não está formatada, não a formate, tente inicializar no Linux e veja se você pode montá-la a partir dela primeiro.
Você também pode comprar um compartimento USB, colocar o disco rígido nele e conectá-lo a outro computador da mesma maneira que um disco rígido externo ou unidade flash.