Eu não acho que isso é possível usando o seu roteador, mas você pode investir em algo como o Raspberry Pi que você continuaria rodando o tempo e manteria a página de autenticação ativa. Deixar um Raspberry Pi por um ano inteiro custaria alguns dólares, então é acessível, eu acho.
Não sei ao certo como esse sistema de login funciona, mas acho que ele manterá a conexão ativa para toda a rede local. Se não for esse o caso, você pode configurar um PC / Raspberry Pi para manter a página em execução e rotear todos os dados. suas conexões através deste computador, mas isso seria muito mais complicado.