A maneira como eu geralmente lidei com esses tipos de coisas é definir uma conta como POP3 e a outra conta como IMAP com o aplicativo cliente de e-mail de minha escolha (ou seja, Thunderbird ou Outlook).
Conta de origem - POP3 Conta de destino - IMAP
Vou baixar todos os e-mails da conta POP3 e copiá-los para a conta IMAP. A conta IMAP sincronizará com o servidor de e-mail, enviando os e-mails da minha outra conta para minha nova conta principal.