No meu caso, o problema era que minha conexão tinha um único servidor DNS definido como 127.0.0.1, porque eu estava executando um servidor DNS local . Mudar isso para 8.8.8.8 resolveu o problema.
O iTunes faz uma pesquisa de DNS para o dispositivo AirPlay que está configurado e minhas configurações fizeram essa pesquisa falhar.
No entanto, não consegui fazer o AirPlay trabalhar em conjunto com um servidor DNS local, mas isso é outra questão.