Antes da última atualização, funcionou. Agora recebo uma mensagem "navegador não suportado".
Você pode alternar para o Google Chrome (não o Chromium, pois ele não inclui o plug-in de descriptografia de conteúdo da Widevine) e usa o player HTML5 nativo para assistir aos principais vídeos. A única desvantagem é que você não pode definir manualmente a qualidade de vídeo para HD, mas é definido automaticamente determinando sua largura de banda.
FYI: Eu não atualizei nada e ele parou de funcionar para mim com a mesma mensagem em 2015/10/21 (Arch Linux, FF 41.0.2).
Parece que eles querem player html5 e que não está disponível para o firefox:
Depois de entrar em contato com a Amazon, fui informado de que, desde 20 de outubro, eles não suportam mais o Flash. Eles recomendaram a instalação do Chrome (não do Chromium), que executará o player HTML5. Essa "solução" está funcionando para mim. O suporte deles me disse que atualmente nenhuma solução está disponível se você quiser usar o Firefox no Ubuntu.