Ok, o problema era bem óbvio. Eu usei o comando: sudo ODBCConfig
para configurar o driver (que o pacote odbcsqlite realmente parecia ter feito para mim).
De qualquer forma, sem reiniciar o ODBCConfig como usuário local, configurei o banco de dados na guia DSN do Usuário. Como eu esperaria, se eu tivesse usado o meu cérebro um pouco mais, o banco de dados seria mostrado apenas para o usuário root (eu nunca verifiquei isso, mas parece óbvio).
Minha solução foi reiniciar o ODBCConfig como o usuário local (ou seja, sem sudo) e depois adicionar o banco de dados. Então funcionou muito bem.