Mesmo que você tenha usado chmod 644 , tenha certeza que o mysql é o dono dos logs.
touch /var/log/mysql.log
chown mysql:mysql /var/log/mysql.log
touch /var/log/mysql.error.log
chown mysql:mysql /var/log/mysql.error.log
Em seguida, reinicie o mysqld.
Em seguida, faça o login no mysql e execute:
mysql> show variables like '%log%';
Veja os valores de general_log , general_log_file , log , log_error , etc.
Ligue-os conforme necessário e execute mysqladmin flushlogs conforme necessário.