Geralmente, sim, até o TTL.
Ao usar CDNs, você geralmente configura TTLs (time to live) para o seu conteúdo. Isso é um máximo de quantos anos o cache pode obter antes de decidir que é absolutamente necessário atualizar o cache com o conteúdo mais recente. Por exemplo, suponha que você configure todos os URLs * .jpg para ter um TTL de 5 minutos.
Então, se o seu servidor cair, você terá mais 5 minutos para fazer o backup antes que os usuários percebam. Bem, pelo menos para .jpgs. Bem, pelo menos para .jpgs que por acaso já foram armazenados em cache.
Além disso, alguns CDNs usam recursos como o Akamai NetStorage, onde você pode enviar conteúdo diretamente para o CDN - o CDN recebe algum conteúdo e é solicitado a atendê-lo diretamente a priori. Uma vez que, para começar, nunca há um cache "on-demand" de estilo "pull", isso deve funcionar, obviamente, quando o servidor estiver inativo.
Como os outros pôsteres observaram, não é para isso que os CDNs são projetados e não oferecem garantias de que esse comportamento funcionará. Acontece que geralmente funciona (e é incrível quando você assiste isso acontecer!). E, é claro, para detalhes técnicos específicos, você deve entrar em contato com o seu provedor.