Depende de quanto acesso seu administrador lhe deu via sudo. A resposta mais simples, assumindo que você tem permissão para fazer isso, é rodar "sudo -s" para obter um shell privilegiado e depois fazer o seu
echo somestring >> test.txt
como 'normal'. Se você precisar fazer isso automaticamente:
sudo /bin/sh -c 'echo somestring >> test.txt'
A razão pela qual o que você tem não funcionará (além do fato de você ter deixado o que eu suponho ser um comando "echo") é que o redirecionamento do arquivo acontece no contexto do seu shell e o sudo só se aplica para o comando que você mandou executar.