Uma maneira possível seria converter ssh [email protected] "sh /home/user/backup_mysql.sh"
em um script (do_ssh.sh, aqui) e invocar esse script.
Algo como
backup_script /path/to/do_ssh.sh ./mysql
Também recomendo que você tente colocar aspas em todo o seu comando.
backup_script "ssh [email protected] "sh /home/user/backup_mysql.sh"" ./mysql