Pergunta 1:
Não. de man resize2fs "Se o sistema de arquivos estiver montado, ele pode ser usado para expandir o tamanho do sistema de arquivos montado, assumindo que o kernel suporta redimensionamento on-line."
Pergunta 2:
Sim, você pode instalar em uma partição diferente enquanto está sendo executado usando um chroot.
Compre um disco extra. Ou, se você não tiver acesso físico, migre o material para outro servidor enquanto estiver on-line e faça uma troca rápida.
Responder a edições:
Sim, existem opções adicionais para fazer coisas com a rede que podem ajudá-lo a ter menos tempo de inatividade. Depende exatamente do que seu servidor está fazendo e de quais opções você tem. Eu dei uma solução geral de mover seus dados para outro servidor enquanto ambos estão online, pare o servidor 1, inicie o servidor 2 fazendo o que o servidor 1 estava fazendo. Corrija o servidor 1 e volte a ele da mesma maneira.
Sem a rede, você poderia fazer swapoff, instalar o linux no swap usando um chroot, reiniciar ou tentar algo com o kexec, e rapidamente diminuir sua outra partição e adicionar uma nova.