Eu descobri a resposta por acidente, tentando ativar caminhos pai.
Abra o console de gerenciamento do IIS,
Clique com o botão direito do mouse no seu site na barra lateral e acesse as propriedades.
Vá para a guia "Diretório inicial"
Nas "configurações de aplicativos", clique no botão "configuração"
Na janela "Configuração de aplicativos", deve haver uma guia Mapeamentos
Basta escolher as extensões de arquivo que você deseja mapear (no meu caso, eu queria que o ASP mapeasse GET, PUT, POST e DELETE), delimitado por vírgulas. E é isso, nem mesmo uma reinicialização é necessária.