para a primeira variação (busca sob demanda) dê uma olhada no backend imapc dovecot:
Existe um proxy imap com lista de mensagens completa e armazenamento em cache do corpo da mensagem?
Eu vejo duas variações possíveis, uma com cache sob demanda (o usuário clica em uma caixa de correio e uma lista de mensagens é obtida de "master" e armazenada em cache para o próximo clique de outro cliente de email / webmail conectado ao proxy. em uma mensagem com cache do corpo da mensagem). Outra variação é a busca automática, algum tipo de script ou daemon que busca mensagens em segundo plano.
para a primeira variação (busca sob demanda) dê uma olhada no backend imapc dovecot:
Tags imap reverse-proxy imapsync