Resolvi meu próprio mistério, mas graças àqueles que ajudaram até agora. Estudei um pouco mais a página man do iptables, e cheguei a uma solução que parece funcionar como eu queria:
Substitua a linha que contém MASQUERADE (iptables -t nat -A POSTROUTING -o eth0 -j MASQUERADE) com a seguinte linha:
iptables -t nat -A POSTROUTING -s 192.168.42.0/24 -o eth0 -j SNAT --to-source XX.XX.XX.XX
Agora, posso ver meu endereço IP real e também ter internet.
* XX.XX.XX.XX = IP público