A solução foi usar ServerXMLHTTP em vez da versão ActiveX de XMLHttpRequest (ou equivalente).
Basicamente:
var objSrvHTTP = Server.CreateObject ("Msxml2.ServerXMLHTTP.6.0");
Ou qualquer versão que você tenha instalado ("Microsoft.XMLHTTP" ou "Msxml2.ServerXMLHTTP" são outras variantes para versões diferentes), use-a como qualquer XMLHttpRequest.