Dependendo da versão / tipo do cron que você está usando, a saída do comando geralmente é enviada via e-mail para alguém. No estilo tradicional você pode colocar
MAILTO=your.login
ou talvez até
[email protected]
e obtenha a saída do script.
No pior dos casos, tente
0 */3 * * * /usr/bin/php /var/acme/cron/api_update_db.php > /tmp/cron.output 2> /tmp/cron.error
Usar &> provavelmente não funcionará também - o cron executa usando /bin/sh , o que provavelmente não é bash e &> não está no padrão POSIX, é uma extensão bash (possivelmente assumida também por outras conchas, mas não todas elas).
Outra coisa para procurar é que isso seja executado sem qualquer uma das variáveis de ambiente, etc. Então, se você tiver credenciais para o DB definido como variável de ambiente em .bashrc , isso não funcionará.