(Para o contexto, eu visitei essa questão um pouco depois do post original)
A maneira mais rápida de desativar as notificações do Spotify é acessando as configurações da sua conta (no Linux Mint, abra o menu suspenso no canto superior direito, onde está o seu nome, e selecione configurações).
Role para baixo até ver a seção "Opções de exibição". Um dos interruptores dirá "Mostrar notificações do ambiente de trabalho quando a música mudar" e clicar no interruptor. Isso desativará as notificações.
Nota
Eu teria preferido uma solução que apenas silva as notificações. Quero ver a notificação, mas não quero ouvi-la.
Mas isso é bom o suficiente para mim, um simples Alt+Tab
não vai me matar.