Eu não trabalhei com o cPanel, mas o que eu entendo é que é um monte de arquivos estáticos (seu site) e, em seguida, o banco de dados MySQL.
Você poderia instalar a ferramenta s3cmd - link no seu servidor e usar essa ferramenta para fazer backup do arquivo tar do seu site e do arquivo tar do mysql dump para S3.
Você pode escrever tudo isso em um script bash simples e executá-lo via cron.