Você precisa ativar o encaminhamento de agentes no PuTTy. Na configuração do Putty, navegue até Conexão - > SSH - > Autenticação e marque "Permitir agente dorwarding"
EDITAR: Depois de habilitar o encaminhamento do agente no PuTTy e no SSHing para um sistema que tenha sua chave pública, você poderá usar o ssh desse sistema em um segundo sistema que também tenha sua chave pública. Você não precisará fazer nada especial para fazer isso funcionar. Você não precisa ativar o encaminhamento de agentes quando se conectar ao segundo sistema (com -A ou com ForwardAgent Yes no seu ~ / .ssh / config ). Você só precisa ativar o encaminhamento do agente quando for fazer outro salto a partir do sistema em que está efetuando login.
Quando você se conecta do seu computador ao servidor, você vai fazer outro salto (usando o git), então você deve habilitar o encaminhamento do agente. Quando o git se conecta via ssh a outro servidor, ele não fará outro salto, então você não precisa ativar o encaminhamento de agentes.
Se você quiser entender como o encaminhamento de agentes funciona, consulte o excelente Guia ilustrado para o encaminhamento de agentes SSh .