A resposta curta é não, a menos que o aplicativo a suporte especificamente. Caso contrário, cabe à pilha de IP determinar como as coisas são enviadas, por isso, fazer algo como colocar um peso em uma interface é o que você precisa fazer.
Uma solução alternativa para um navegador seria instalar um proxy local. WebScarab permitirá que você faça isso, se não se importar em instalar em um servidor. Você pode configurar um proxy local ligado a um IP específico e, em seguida, configurar seu navegador para usar o proxy local. Assim, o pedido será enviado para o servidor remoto usando o IP ao qual o proxy está vinculado.
Se você usar um proxy interno, siga este guia para encadear o WebScarab a esse proxy.